LECCIONES DE CÁLCULO
UN BLOG PARA ESTUDIANTES DE PRIMER CURSO DE CÁLCULO Y TAMBIÉN DE ÁLGEBRA
jueves, 3 de noviembre de 2016
miércoles, 2 de noviembre de 2016
martes, 1 de noviembre de 2016
martes, 17 de febrero de 2015
EL SUPREMO Y EL ÍNFIMO (2)
¿De cuál de los intervalos siguientes es supremo el
número 2?
a)
(2, +∞) b)
(-∞, 2) c) [-5,
2]
El intervalo (2, +∞)
contiene a todos los números mayores que 2. No tiene cotas superiores pues no
hay ningún número que sea mayor o igual que todos los demás en el intervalo.
Por no tener cotas superiores no puede tener supremo.
El intervalo (-∞, 2) contiene a todos los números menores que el
2. Cotas superiores son el 100, el 5, el 4, el 3, el propio 2, por ejemplo. No
hay ninguna cota superior más pequeña que el 2. Por ello el 2 es el supremo del
intervalo.
El intervalo [-5, 2]
contiene a todos los números comprendidos entre el -5 y el 2 (incluidos). Tiene
las mismas cotas superiores que el intervalo anterior. Por ello el 2 también es
supremo del intervalo.
¿De cuál de los intervalos siguientes es ínfimo el
número -2?
a)
[-2, +∞) b)
(-3, -2) c) (-2, 2]
El intervalo [-2, +∞) contiene
a todos los números mayores o iguales que -2. Cotas inferiores son el -100, el
-10, el -4, el -3 y el propio -2, por ejemplo. No hay ninguna cota inferior más
grande que el -2. Por ello el -2 es el ínfimo.
El intervalo (-3, -2) contiene a todos los números comprendido
entre el -3 y el -2. Cotas inferiores son el -100, el -5, el -4, el -3, pero no
el -2, ya que -2 no es menor o igual que
todos los números del intervalo (por ejemplo, no es menor o igual que -2,5). Al
no ser cota inferior, -2 no puede ser el ínfimo.
El intervalo (-2, 2]
contiene a todos los números comprendidos entre el -2 y el 2 (incluido). En
este caso -2 es una cota inferior pues es mayor o igual que todos los números
del intervalo. Además es la mayor de todas las cotas inferiores (otras cotas
inferiores serían el -3, el -10, etc.). Por ello -2 es el ínfimo del intervalo.
sábado, 14 de febrero de 2015
COTAS SUPERIORES E INFERIORES (2)
¿De cuál de los intervalos siguientes es cota
superior el número 5?
a)
(5, +∞) b)
(-∞, 5] c) [-5,
6)
El intervalo (5, +∞) es un
intervalo que contiene a todos los números reales mayores que el 5. El número 5
no es mayor o igual que todos los números del intervalo. De hecho no es mayor o
igual que ningún número del intervalo. Por ello 5 no es cota superior del
intervalo.
El intervalo (-∞, 5] es un
intervalo que contiene a todos los números reales menores o iguales que el 5
(el 5 sí está incluido). Por lo tanto el 5 sí es mayor o igual que todos los
números del intervalo y es una cota superior de él.
El intervalo [-5, 6) es un intervalo que contiene a todos los
números reales comprendidos entre el -5 y el 6, sin incluir al 6. Por lo tanto
el 5 no es una cota superior del intervalo ya que, por ejemplo, no es mayor o
igual que 5,5, que sí está en el intervalo.
¿De cuál de los intervalos siguientes es cota inferior
el número -1?
a)
(-1, +∞) b)
(-∞, -1) c) [-1, 1)
El intervalo (-∞, -1] es
un intervalo que contiene a todos los números reales menores que el -1. Por lo
tanto el -1 no es menor o igual que todos los números del intervalo y no es una
cota inferior de él.
El intervalo [-1, 1) es un intervalo que contiene a todos los
números reales comprendidos entre el -1 y el 1, sin incluir al 1. Por lo tanto
el -1 sí es una cota inferior del intervalo ya que es menor o igual que todos
los números que están en él.
viernes, 13 de febrero de 2015
INTERVALOS INFINITOS (2)
¿En cuáles de los intervalos siguientes no está
incluido el número 5?
a)
(5, +∞) b)
[-∞, 5] c) [-5,
5)
El intervalo (5, +∞) es un
intervalo que contiene a todos los números reales mayores que el 5 (el 5 no
está incluido pues no es mayor que sí mismo). Por lo tanto el 5 no pertenece a
este intervalo.
El intervalo [-5, 5) es un intervalo que contiene a todos los
números reales comprendidos entre el -5 y el 5, sin incluir al 5, pues es
abierto por el lado derecho. Por lo tanto el 5 no pertenece a este intervalo.
El intervalo [-∞, 5] es un
intervalo que contiene a todos los números reales menores o iguales que el 5
(el 5 sí está incluido). Por lo tanto el 5 sí pertenece a este intervalo.
¿Cuáles de los números siguientes pertenecen al
intervalo (-∞, 3)?
a)
-2 b) -3 c)
3 d) -1000 e) 8
El intervalo contiene a
todos los números reales menores que el 3, no incluyendo al 3.
Por lo tanto el número -2 sí
pertenece al intervalo pues es menor que 3.
El número -3 sí pertenece
al intervalo, ya que es menor que 3.
El número 3 no pertenece
al intervalo ya que no es menor que sí mismo.
El número -1000 sí
pertenece al intervalo ya que es más pequeño que 3.
El número 8 no pertenece
al intervalo ya que no es menor que 3.
jueves, 12 de febrero de 2015
SUBESPACIOS VECTORIALES
Entender lo que es
un Subespacio Vectorial a veces se hace muy duro leyendo determinados libros de
Álgebra.
Pero si tenéis
claro que un Espacio Vectorial es un conjunto formado por vectores, entonces
sólo tenéis que imaginar que de todos esos vectores del Espacio cogéis algunos,
es decir, cogéis una parte del Espacio, un subconjunto de él. Esa es la idea
primera para comprender lo que es un Subespacio Vectorial: una parte de todo el
Espacio Vectorial.
Ese grupo de
vectores que se cogen para hacer un Subespacio tienen que cumplir dos
condiciones:
1) Al sumar dos
vectores de ese grupo (los que sean), tenemos que obtener otro vector de ese
grupo.
2) Al multiplicar
un vector de ese grupo (el que sea) por un número (el que sea), se tiene que
obtener otro vector de ese grupo.
Está claro que estos que he escogido son muchos, en realidad son
infinitos, pero son sólo una parte de todos los que hay en el Espacio Vectorial
completo R2.
¿Qué pasa si sumo dos de esos vectores que he escogido? Serán dos vectores
que empiecen por cero, así que al sumarlos el resultado será otro vector que
empezará por cero también. Por lo tanto el grupo de vectores que empiezan por
cero cumplen la primera condición. Con letras: (0,a) + (0,b) = (0,a+b).
¿Y si multiplico uno de los vectores que escogí por un número cualquiera?
Pues al multiplicar el número por el cero (primera componente) del vector el
resultado va a ser cero, por lo que el vector resultante también empezará por
cero. Es decir, se cumple la segunda condición. Con letras: k*(0,a) = (k*0,k*a)
= (0,k*a).
Luego los vectores de R2 cuya primera componente es un cero
forman un Subespacio Vectorial del Espacio R2.
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